Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường trực tiếp d được call là vuông góc cùng với khía cạnh phẳng (α) giả dụ d vuông góc với tất cả mặt đường trực tiếp nằm trong (α).

Bạn đang xem: Bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Khi kia ta còn nói (α) vuông góc với d và kí hiệu d

*
(α) hoặc (α)
*
d.

II. ĐIỂU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Nếu mặt đường thẳng d vuông góc với hai tuyến đường thẳng cắt nhau phía trong phương diện phẳng (α) thì d vuông góc cùng với (α).


III. TÍNH CHẤT

1. Có duy nhất một phương diện phẳng đi sang 1 điểm cho trước cùng vuông góc với cùng một mặt đường trực tiếp mang đến trước.

2. Có độc nhất vô nhị một mặt đường trực tiếp đi qua một điểm mang lại trước cùng vuông góc với cùng 1 khía cạnh phẳng mang lại trước.

IVSỰ LIÊN QUAN GIỮA QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÀ QUAN HỆ SONG SONG

1. a) Cho hai tuyến phố thẳng tuy vậy song. Mặt phẳng nào vuông góc cùng với mặt đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng cơ.

b) Hai mặt đường trực tiếp minh bạch cùng vuông góc với một khía cạnh phẳng thì tuy vậy tuy vậy với nhau.

2. a) Cho nhị phương diện phẳng tuy vậy tuy nhiên. Đường trực tiếp làm sao vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc cùng với phương diện phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng minh bạch thuộc vuông góc với 1 đường thẳng thì tuy vậy song với nhau.

3. a) Cho đường trực tiếp a với khía cạnh phẳng (α) tuy vậy song với nhau. Đường trực tiếp nào vuông góc cùng với (α) thì cũng vuông góc với

b) Nếu một đường thẳng và một phương diện phẳng (ko cất con đường trực tiếp đó) thuộc vuông góc với cùng một mặt đường trực tiếp khác thì bọn chúng tuy nhiên song với nhau.

V. PHÉPhường CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa. Cho con đường trực tiếp d vuông góc với mặt phẳng (α). Phnghiền chiếu tuy vậy tuy nhiên theo phương d lên phương diện phẳng (α) được hotline là phép chiếu vuông góc lên khía cạnh phẳng (α).

2. Định lí ba con đường vuông góc. Cho đường trực tiếp a nằm trong mặt phẳng (α) với b là mặt đường trực tiếp ko nằm trong (α) bên cạnh đó không vuông góc với (α). điện thoại tư vấn b’ là hình chiếu vuông góc của b bên trên (α). lúc đó a vuông góc với b khi và chỉ còn Lúc a vuông góc cùng với b’

3. Góc giữa con đường thẳng cùng khía cạnh phẳng

Cho con đường trực tiếp d và mặt phẳng (α). Ta gồm khái niệm :

Nếu con đường thẳng d vuông góc cùng với mặt phẳng (α) thì ta bảo rằng góc giữa mặt đường trực tiếp d và mặt phẳng (α) bởi 90°.Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc thân d với hình chiếu d’ của nó bên trên (à) được gọi là góc giữa mặt đường trực tiếp d với mặt phẳng (α).

Lưu ý rằng góc giữa đường trực tiếp và mặt phẳng không thừa thừa 90°.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Chứng minc đưòng thẳng vuông góc cùng với phương diện phẳng

1. Phương thơm pháp giải

Muốn chứng tỏ đường thẳng a vuông góc cùng với phương diện phẳng (α) tín đồ ta hay được sử dụng 1 trong những nhì biện pháp sau đây :

Chứng minh con đường trực tiếp a vuông góc cùng với hai đường thẳng giảm nhau nằm vào (α).Chứng minh mặt đường trực tiếp a song song với con đường thẳng b nhưng mà b vuông góc với (α).

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Hình chóp S.ABCD tất cả lòng là hình vuông vắn ABCD vai trung phong O với có cạnh SA vuông góc với khía cạnh phẳng (ABCD). Hotline H, I vầK theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A bên trên các cạnh SB, SC cùng SD.

a) Chứng minc BC

*
(SAB), CD
*
(SAD) cùng BD
*
(SAC).

b) Chứng minh SC 

*
(ẠHK) cùng điểm I trực thuộc (AHK).

c) Chứng minch HK

*
(SAC), từ bỏ kia suy ra HK
*
AI.

Giải

a) BC 

*
AB vì chưng lòng ABCD là hình vuông vắn (h.3.24)

BC 

*
SA vì chưng SA
*
(ABCD) và BC ở trong (ABCD).

Do kia BC

*
(SAB) vày BC vuông góc cùng với hai tuyến đường thẳng giảm nhau trong (SAB).

Lập luận tương tự như ta tất cả CD

*
AD và CD
*
SA bắt buộc CD
*
(SAD).

Ta bao gồm BD

*
AC vì chưng đáy ABCD là hình vuông vắn cùng BD
*
SA nên BD
*
(SAC). 

b) BC

*
(SAB) mà lại AH ⊂ (,SAB) phải BC
*
AH cùng theo mang thiết SB
*
AH ta suy ra AH
*
(SBC).

Vì SC ⊂ (SBC) đề nghị AH 

*
SC.

Lập luận tương tự như ta chứng tỏ được AK

*
SC. Hai mặt đường trực tiếp AH, AK giảm nhau cùng cùng vuông góc cùng với SC bắt buộc bọn chúng phía bên trong khía cạnh phẳng đi qua điểm A với vuông góc với SC. Vậy SC
*
(AHK). Ta có AI ⊂ (.AHK) vị nó trải qua điểm A với cùng vuông góc với SC.

Hai tam giác vuông SAB và SAD đều nhau bởi chúng tất cả cạnh SA tầm thường cùng AB AD (c.g.c). Do kia SB = SD, SH = SK yêu cầu HK // BD.

Vì BD

*
(SAC) cần HK (SAC) với vì AI c= (SAC) buộc phải HK
*
AI.

Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD chổ chính giữa O cùng tất cả SA = SC, SB = SD.

a) Chứng minc so vuông góc cùng với mặt phẳng (ABCD).

b) Hotline I, K thứu tự là trung điểm của các cạnh BA, BC.

Chứng minch rằng IK

*
(SBD) cùng IK
*
SD.

Giải

a) O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm của đoạn AC (h.3.25). Tam giác SAC có SA = SC bắt buộc so

*
ÁC. Chứng minch giống như ta tất cả SO
*
BD. Từ kia ta suy ra SO
*
(ABCD).

b) Vì lòng ABCD là hình thoi buộc phải AC

*
BD

Mặt không giống ta gồm AC

*
SO. Do kia AC
*
(SBD). Ta bao gồm IK là đường trung bình của tam giác BAC bắt buộc IK // AC mà AC
*
(SBD) đề nghị IK
*
(SBD).

Ta lại sở hữu SD phía trong mặt phẳng (SBD) cần IK

*
SD.

Vấn đề 2

Chứng minch hai đường thẳng vuông góc cùng nhau bằng cách minh chứng đường trực tiếp nàỵ vuông góc với khía cạnh phẳng đựng mặt đường trực tiếp kia

1. Pmùi hương pháp giảiMuốn chứng tỏ đường thẳng a vuông góc cùng với mặt đường trực tiếp b, ta tìm kiếm mặt phẳng (β) chứa đường thẳng b thế nào cho bài toán chứng minh a
*
(β) dễ triển khai.Sử dụng định lí bố mặt đường vuông góc.2. Ví dụ

lấy một ví dụ 1. Cho tđọng diện gần như ABCD. Chứng minch các cặp cạnh đối diện của tđọng diện này vuông góc cùng nhau từng đôi một.

Giải

Giả sử ta cần minh chứng AB

*
CD.

điện thoại tư vấn I là trung điểm của cạnh AB (h3.26). Ta gồm :

Do kia AB

*
CD vị CD phía trong phương diện phẳng (CID).

Bằng lập luận tựa như ta chứng minh được BC

*
AD với AC
*
BD.

lấy ví dụ 2. Cho tđọng diện OABC bao gồm bố cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc cùng nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) trên H. Chứng minc :

a) OA 

*
BC, OB 
*
CA và OC 
*
AB

b) H là trực trọng tâm của tam giác ABC;

Giải

⇒ OA 

*
(OBC) ⇒ OA 
*
BC (h.3.27).

Tương tự ta chứng minh

OB

*
(OCA) ⇒ OB
*
CA

OC

*
(OAB) ⇒ OC
*
AB.b) Vì OH 
*
(ABC) phải OH
*
BC cùng OA
*
BC

⇒ BC

*
(OAH) ⇒ BC
*
AH. (1)

Chứng minch tựa như ta có AC

*
(OBH) ⇒ AC
*
BH. (2)Từ (1) cùng (2) ta suy ra H là trực vai trung phong của tam giác ABC.

Hotline K là giao điểm của AH và Trong tam giác AOK vuông tại O, ta gồm OH là mặt đường cao. Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông của hình học phẳng ta gồm :

Vì BC vuông góc vói khía cạnh phẳng (OAH) bắt buộc BC _L OK. Do đố vào tam giác OBC vuông trên o cùng với con đường cao OK ta gồm :

lấy một ví dụ 3. Hình chóp S.ABCD gồm lòng là hình chữ nhật ABCD với có bên cạnh SA vuông góc cùng với khía cạnh phẳng đáy. Chứng minh những khía cạnh mặt của hình chóp đã chỉ ra rằng phần đa tam giác vuông.

Giải

SA

*
AB với SA
*
AD (h.3.28).

Vậy các tam giác SAB cùng SAD là các tam giác vuông tại A.

Vậy tam giác SDC vuông trên D cùng tam giác SBC vuông tại B.

Chụ phù hợp. Muốn minh chứng tam giác SDC vuông tại D ta rất có thể áp dụng định lí ba đường vuông góc với lập luận nlỗi sau

Đường trực tiếp SD có hình chiếu vuông góc cùng bề mặt phẳng (ABCD) là AD. Theo định lí cha mặt đường vuông góc vì CD

*
AD cần CD
*
SD cùng ta bao gồm tam giác SDC vuông tại D.

Tương từ, ta minh chứng được CB

*
SB và ta bao gồm tam giác SBC vuông trên B.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.16. Một đoạn trực tiếp AB không vuông góc cùng với mặt phẳng (α) cắt mặt phẳng này tại trung điểm O của đoạn trực tiếp đó. Các đường thẳng vuông góc cùng với (α) qua A và B theo thứ tự giảm mặt phẳng (α) tại A’ và B’.

Chứng minch tía điểm A’, O, B’ trực tiếp mặt hàng cùng AA’ = BB’.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.17. Cho tam giác Call (α) là phương diện phẳng vuông góc cùng với mặt đường trực tiếp CA tại A với (β) là phương diện phẳng vuông góc cùng với mặt đường thẳng CB trên B. Chứng minh rằng nhì phương diện phẳng (α) với (β) giảm nhau với giao tuyến đường d của chúng vuông góc cùng với phương diện phẳng (ABC).

⇒ Xem giải đáp trên đây.

3.18. Cho hình lăng trụ tam giác A’B’C’. gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H vuông góc cùng với khía cạnh phẳng (ABC). Chứng minc rằng :

a )AA’

*
BC và lAA’
*
B’C’.

b) điện thoại tư vấn MM’ là giao tuyến đường của phương diện phẳng (ẠHA’) với phương diện bên BCC’B’ trong số ấy M ∈ BC cùng M’ ∈ B’C’. Chứng minh rằng tđọng giác BCC’B’ là hình chữ nhật với MM’ là đường cao của hình chữ nhật kia.

⇒ Xem câu trả lời tại trên đây.

3.19. Hình chóp tam giác ABC tất cả đáy ABC là tam giác vuông trên A cùng bao gồm canh mặt SA vuông góc cùng với mặt phẳng lòng là (ABC). gọi D là vấn đề đối xứng của điểm B qua trung điểm o của cạnh AC. Chứng minch rằng CD

*
CA với CD
*
(SCA).

⇒ Xem câu trả lời tại phía trên.

3.20. Hai tam giác cân nặng ABC cùng DBC phía trong nhì mặt phẳng không giống nhau có bình thường cạnh đáy BC tạo nên tđọng diện gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minc BC

*
AD

b) Call AH là con đường cao của tam giác ADI

Chứng minh rằng AH vuông góc vói phương diện phẳng (BCD).

⇒ Xem giải đáp tại đây.

Xem thêm: Đề Thi An Toàn Giao Thông Cấp Tiểu Học Sinh Tiểu Học, Thi An Toàn Giao Thông Cho Học Sinh Tiểu Học

3.21. Chứng minc rằng tập phù hợp đông đảo điểm cách hầu hết tía đỉnh của tam giác ABC là con đường trực tiếp d vuông góc cùng với khía cạnh phẳng (ABC) trên trọng tâm O của con đường tròn (C) nước ngoài tiếp tam giác ABC kia.