Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNGĐường trực tiếp d được call là vuông góc cùng với khía cạnh phẳng (α) giả dụ d vuông góc với tất cả mặt đường trực tiếp nằm trong (α).
Bạn đang xem: Bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Khi kia ta còn nói (α) vuông góc với d và kí hiệu d
Nếu mặt đường thẳng d vuông góc với hai tuyến đường thẳng cắt nhau phía trong phương diện phẳng (α) thì d vuông góc cùng với (α).
III. TÍNH CHẤT
1. Có duy nhất một phương diện phẳng đi sang 1 điểm cho trước cùng vuông góc với cùng một mặt đường trực tiếp mang đến trước.
2. Có độc nhất vô nhị một mặt đường trực tiếp đi qua một điểm mang lại trước cùng vuông góc với cùng 1 khía cạnh phẳng mang lại trước.
IV. SỰ LIÊN QUAN GIỮA QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÀ QUAN HỆ SONG SONG1. a) Cho hai tuyến phố thẳng tuy vậy song. Mặt phẳng nào vuông góc cùng với mặt đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng cơ.
b) Hai mặt đường trực tiếp minh bạch cùng vuông góc với một khía cạnh phẳng thì tuy vậy tuy vậy với nhau.
2. a) Cho nhị phương diện phẳng tuy vậy tuy nhiên. Đường trực tiếp làm sao vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc cùng với phương diện phẳng kia.
b) Hai mặt phẳng minh bạch thuộc vuông góc với 1 đường thẳng thì tuy vậy song với nhau.
3. a) Cho đường trực tiếp a với khía cạnh phẳng (α) tuy vậy song với nhau. Đường trực tiếp nào vuông góc cùng với (α) thì cũng vuông góc với
b) Nếu một đường thẳng và một phương diện phẳng (ko cất con đường trực tiếp đó) thuộc vuông góc với cùng một mặt đường trực tiếp khác thì bọn chúng tuy nhiên song với nhau.
V. PHÉPhường CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC1. Định nghĩa. Cho con đường trực tiếp d vuông góc với mặt phẳng (α). Phnghiền chiếu tuy vậy tuy nhiên theo phương d lên phương diện phẳng (α) được hotline là phép chiếu vuông góc lên khía cạnh phẳng (α).
2. Định lí ba con đường vuông góc. Cho đường trực tiếp a nằm trong mặt phẳng (α) với b là mặt đường trực tiếp ko nằm trong (α) bên cạnh đó không vuông góc với (α). điện thoại tư vấn b’ là hình chiếu vuông góc của b bên trên (α). lúc đó a vuông góc với b khi và chỉ còn Lúc a vuông góc cùng với b’
3. Góc giữa con đường thẳng cùng khía cạnh phẳng
Cho con đường trực tiếp d và mặt phẳng (α). Ta gồm khái niệm :
Nếu con đường thẳng d vuông góc cùng với mặt phẳng (α) thì ta bảo rằng góc giữa mặt đường trực tiếp d và mặt phẳng (α) bởi 90°.Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc thân d với hình chiếu d’ của nó bên trên (à) được gọi là góc giữa mặt đường trực tiếp d với mặt phẳng (α).Lưu ý rằng góc giữa đường trực tiếp và mặt phẳng không thừa thừa 90°.
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1Chứng minc đưòng thẳng vuông góc cùng với phương diện phẳng
1. Phương thơm pháp giải
Muốn chứng tỏ đường thẳng a vuông góc cùng với phương diện phẳng (α) tín đồ ta hay được sử dụng 1 trong những nhì biện pháp sau đây :
Chứng minh con đường trực tiếp a vuông góc cùng với hai đường thẳng giảm nhau nằm vào (α).Chứng minh mặt đường trực tiếp a song song với con đường thẳng b nhưng mà b vuông góc với (α).2. Ví dụ
Ví dụ 1. Hình chóp S.ABCD tất cả lòng là hình vuông vắn ABCD vai trung phong O với có cạnh SA vuông góc với khía cạnh phẳng (ABCD). Hotline H, I vầK theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A bên trên các cạnh SB, SC cùng SD.
a) Chứng minc BC
b) Chứng minh SC
c) Chứng minch HK
Giải
a) BC
BC
Do kia BC
Lập luận tương tự như ta tất cả CD
Ta bao gồm BD
b) BC
Vì SC ⊂ (SBC) đề nghị AH
Lập luận tương tự như ta chứng tỏ được AK
Hai tam giác vuông SAB và SAD đều nhau bởi chúng tất cả cạnh SA tầm thường cùng AB AD (c.g.c). Do kia SB = SD, SH = SK yêu cầu HK // BD.
Vì BD
Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD chổ chính giữa O cùng tất cả SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minc so vuông góc cùng với mặt phẳng (ABCD).
b) Hotline I, K thứu tự là trung điểm của các cạnh BA, BC.
Chứng minch rằng IK
Giải
a) O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm của đoạn AC (h.3.25). Tam giác SAC có SA = SC bắt buộc so
b) Vì lòng ABCD là hình thoi buộc phải AC
Mặt không giống ta gồm AC
Ta lại sở hữu SD phía trong mặt phẳng (SBD) cần IK
Chứng minch hai đường thẳng vuông góc cùng nhau bằng cách minh chứng đường trực tiếp nàỵ vuông góc với khía cạnh phẳng đựng mặt đường trực tiếp kia
1. Pmùi hương pháp giảiMuốn chứng tỏ đường thẳng a vuông góc cùng với mặt đường trực tiếp b, ta tìm kiếm mặt phẳng (β) chứa đường thẳng b thế nào cho bài toán chứng minh alấy một ví dụ 1. Cho tđọng diện gần như ABCD. Chứng minch các cặp cạnh đối diện của tđọng diện này vuông góc cùng nhau từng đôi một.
Giải
Giả sử ta cần minh chứng AB
điện thoại tư vấn I là trung điểm của cạnh AB (h3.26). Ta gồm :
Do kia AB
Bằng lập luận tựa như ta chứng minh được BC
lấy ví dụ 2. Cho tđọng diện OABC bao gồm bố cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc cùng nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) trên H. Chứng minc :
a) OA
b) H là trực trọng tâm của tam giác ABC;
Giải
⇒ OA
Tương tự ta chứng minh
OB
OC
⇒ BC
Chứng minch tựa như ta có AC
Hotline K là giao điểm của AH và Trong tam giác AOK vuông tại O, ta gồm OH là mặt đường cao. Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông của hình học phẳng ta gồm :
Vì BC vuông góc vói khía cạnh phẳng (OAH) bắt buộc BC _L OK. Do đố vào tam giác OBC vuông trên o cùng với con đường cao OK ta gồm :
lấy một ví dụ 3. Hình chóp S.ABCD gồm lòng là hình chữ nhật ABCD với có bên cạnh SA vuông góc cùng với khía cạnh phẳng đáy. Chứng minh những khía cạnh mặt của hình chóp đã chỉ ra rằng phần đa tam giác vuông.
Giải
SA
Vậy các tam giác SAB cùng SAD là các tam giác vuông tại A.
Vậy tam giác SDC vuông trên D cùng tam giác SBC vuông tại B.
Chụ phù hợp. Muốn minh chứng tam giác SDC vuông tại D ta rất có thể áp dụng định lí ba đường vuông góc với lập luận nlỗi sau
Đường trực tiếp SD có hình chiếu vuông góc cùng bề mặt phẳng (ABCD) là AD. Theo định lí cha mặt đường vuông góc vì CD
Tương từ, ta minh chứng được CB
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
3.16. Một đoạn trực tiếp AB không vuông góc cùng với mặt phẳng (α) cắt mặt phẳng này tại trung điểm O của đoạn trực tiếp đó. Các đường thẳng vuông góc cùng với (α) qua A và B theo thứ tự giảm mặt phẳng (α) tại A’ và B’.
Chứng minch tía điểm A’, O, B’ trực tiếp mặt hàng cùng AA’ = BB’.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.17. Cho tam giác Call (α) là phương diện phẳng vuông góc cùng với mặt đường trực tiếp CA tại A với (β) là phương diện phẳng vuông góc cùng với mặt đường thẳng CB trên B. Chứng minh rằng nhì phương diện phẳng (α) với (β) giảm nhau với giao tuyến đường d của chúng vuông góc cùng với phương diện phẳng (ABC).
⇒ Xem giải đáp trên đây.
3.18. Cho hình lăng trụ tam giác A’B’C’. gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H vuông góc cùng với khía cạnh phẳng (ABC). Chứng minc rằng :
a )AA’
b) điện thoại tư vấn MM’ là giao tuyến đường của phương diện phẳng (ẠHA’) với phương diện bên BCC’B’ trong số ấy M ∈ BC cùng M’ ∈ B’C’. Chứng minh rằng tđọng giác BCC’B’ là hình chữ nhật với MM’ là đường cao của hình chữ nhật kia.
⇒ Xem câu trả lời tại trên đây.
3.19. Hình chóp tam giác ABC tất cả đáy ABC là tam giác vuông trên A cùng bao gồm canh mặt SA vuông góc cùng với mặt phẳng lòng là (ABC). gọi D là vấn đề đối xứng của điểm B qua trung điểm o của cạnh AC. Chứng minch rằng CD
⇒ Xem câu trả lời tại phía trên.
3.20. Hai tam giác cân nặng ABC cùng DBC phía trong nhì mặt phẳng không giống nhau có bình thường cạnh đáy BC tạo nên tđọng diện gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minc BC
b) Call AH là con đường cao của tam giác ADI
Chứng minh rằng AH vuông góc vói phương diện phẳng (BCD).
⇒ Xem giải đáp tại đây.
Xem thêm: Đề Thi An Toàn Giao Thông Cấp Tiểu Học Sinh Tiểu Học, Thi An Toàn Giao Thông Cho Học Sinh Tiểu Học
3.21. Chứng minc rằng tập phù hợp đông đảo điểm cách hầu hết tía đỉnh của tam giác ABC là con đường trực tiếp d vuông góc cùng với khía cạnh phẳng (ABC) trên trọng tâm O của con đường tròn (C) nước ngoài tiếp tam giác ABC kia.